Apakah kamu sedang mempelajari matematika dan merasa kesulitan memahami barisan aritmatika? Atau mungkin kamu ingin meningkatkan kemampuanmu dalam menyelesaikan soal-soal terkait barisan ini? Tenang, artikel ini hadir untuk membantumu! Kami akan membahas secara detail tentang rumus barisan aritmatika, lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya. Dengan panduan ini, kamu akan lebih mudah menguasai materi dan siap menghadapi berbagai tantangan soal barisan aritmatika.
Mempelajari barisan aritmatika memang penting, baik untuk meningkatkan pemahaman konsep matematika maupun untuk persiapan ujian. Materi ini juga memiliki aplikasi praktis dalam kehidupan sehari-hari, seperti menghitung bunga pinjaman, menentukan jumlah barang yang diproduksi, dan sebagainya. Yuk, simak penjelasan lengkapnya dan tingkatkan pemahamanmu tentang barisan aritmatika!
Pengertian Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku yang berdekatan. Selisih yang sama ini disebut sebagai beda. Dengan kata lain, setiap suku diperoleh dengan menambahkan beda ke suku sebelumnya.
Contohnya, barisan 2, 5, 8, 11, 14 adalah barisan aritmatika dengan beda 3. Perhatikan bahwa setiap suku diperoleh dengan menambahkan 3 ke suku sebelumnya.
Secara umum, barisan aritmatika dapat dinyatakan sebagai:
a, a + b, a + 2b, a + 3b, …
di mana:
- a adalah suku pertama
- b adalah beda
Barisan aritmatika merupakan konsep penting dalam matematika dan sering dijumpai dalam berbagai aplikasi, seperti menghitung suku-suku barisan, menentukan jumlah suku tertentu, dan menyelesaikan masalah terkait pertumbuhan linier.
Rumus Umum Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika merupakan barisan bilangan yang memiliki selisih atau beda yang tetap antara setiap suku yang berdekatan. Selisih ini disebut dengan beda (b). Rumus umum untuk menentukan suku ke-n (Un) dalam barisan aritmatika adalah:
Un = a + (n – 1) b
Dimana:
- Un = Suku ke-n
- a = Suku pertama
- b = Beda
- n = Nomor suku
Rumus ini dapat digunakan untuk menghitung nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika jika nilai suku pertama (a), beda (b), dan nomor suku (n) diketahui.
Menentukan Suku ke-n
Dalam barisan aritmatika, suku ke-n (dilambangkan dengan an) merupakan suku yang terletak pada posisi ke-n dalam barisan tersebut. Untuk menentukan suku ke-n, kita dapat menggunakan rumus berikut:
an = a1 + (n – 1)b
Dimana:
- an = suku ke-n
- a1 = suku pertama
- n = posisi suku dalam barisan
- b = beda (selisih antara dua suku berurutan)
Contoh Soal:
Tentukan suku ke-10 dari barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, …
Penyelesaian:
Dari barisan tersebut, kita ketahui bahwa:
- a1 = 2
- b = 5 – 2 = 3
- n = 10
Sehingga, suku ke-10 (a10) dapat dihitung sebagai berikut:
a10 = a1 + (n – 1)b
a10 = 2 + (10 – 1)3
a10 = 2 + 27
a10 = 29
Jadi, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah 29.
Mencari Jumlah n Suku Pertama
Untuk mencari jumlah n suku pertama pada barisan aritmatika, kita dapat menggunakan rumus berikut:
Sn = (n/2) * (a + Un)
Dimana:
- Sn = jumlah n suku pertama
- n = banyaknya suku
- a = suku pertama
- Un = suku ke-n
Rumus ini didasarkan pada fakta bahwa jumlah suku pertama dan terakhir sama dengan jumlah suku kedua dan kedua dari belakang, dan seterusnya. Oleh karena itu, kita dapat menghitung jumlah total dengan mengalikan rata-rata suku pertama dan terakhir dengan jumlah suku.
Sebagai contoh, jika kita ingin mencari jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, …, maka:
- n = 10
- a = 2
- Un = 2 + (10-1) * 3 = 29
Maka, jumlah 10 suku pertama adalah:
S10 = (10/2) * (2 + 29) = 155
Contoh Soal Barisan Aritmatika
Berikut ini adalah beberapa contoh soal barisan aritmatika beserta pembahasannya:
Contoh Soal 1
Tentukan suku ke-10 dari barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, …!
Penyelesaian:
Dari barisan tersebut, kita dapat melihat bahwa beda (b) = 5 – 2 = 3. Suku pertama (a) = 2. Untuk mencari suku ke-10 (U10), kita gunakan rumus:
Un = a + (n – 1)b
Maka, U10 = 2 + (10 – 1)3 = 2 + 27 = 29
Contoh Soal 2
Tentukan jumlah 15 suku pertama dari barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, …!
Penyelesaian:
Beda (b) = 7 – 3 = 4. Suku pertama (a) = 3. Untuk mencari jumlah 15 suku pertama (S15), kita gunakan rumus:
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
Maka, S15 = 15/2 (2(3) + (15-1)4) = 15/2 (6 + 56) = 15/2 (62) = 465
Contoh Soal 3
Tentukan nilai x jika diketahui barisan aritmatika 2, x, 10, …!
Penyelesaian:
Pada barisan aritmatika, selisih antara dua suku berdekatan adalah sama. Maka, kita dapat menulis:
x – 2 = 10 – x
2x = 12
x = 6
Contoh Soal 1: Mencari Suku Selanjutnya
Misalkan terdapat barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, … . Tentukan suku selanjutnya!
Untuk mencari suku selanjutnya, kita perlu menentukan selisih antar suku (beda) terlebih dahulu. Dari barisan tersebut, terlihat bahwa beda = 5 – 2 = 3. Jadi, setiap suku diperoleh dengan menambahkan 3 ke suku sebelumnya.
Oleh karena itu, suku selanjutnya adalah 11 + 3 = 14.
Contoh Soal 2: Mencari Suku Tertentu
Suatu barisan aritmatika memiliki suku pertama a = 5 dan beda b = 3. Tentukan suku ke-10 (U10) dari barisan tersebut!
Untuk mencari suku ke-10, kita dapat menggunakan rumus umum barisan aritmatika:
Un = a + (n – 1)b
Dengan mengganti nilai a, b, dan n, kita dapatkan:
U10 = 5 + (10 – 1)3
U10 = 5 + 27
U10 = 32
Jadi, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah 32.
Contoh Soal 3: Mencari Jumlah Suku
Sebuah barisan aritmatika memiliki suku pertama a = 5 dan beda b = 3. Jika diketahui jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah Sn = 195, tentukanlah banyaknya suku (n) dari barisan tersebut!
Untuk menyelesaikan soal ini, kita gunakan rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika:
Sn = (n/2) * [2a + (n-1)b]
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus:
195 = (n/2) * [2(5) + (n-1)3]
195 = (n/2) * (10 + 3n – 3)
195 = (n/2) * (7 + 3n)
390 = n(7 + 3n)
390 = 7n + 3n2
3n2 + 7n – 390 = 0
Selesaikan persamaan kuadrat tersebut dengan memfaktorkan atau menggunakan rumus ABC. Kita akan mendapatkan dua nilai n, yaitu:
n1 = 10
n2 = -13
Karena jumlah suku tidak dapat bernilai negatif, maka banyaknya suku (n) dari barisan tersebut adalah n = 10.
Pembahasan Contoh Soal
Untuk memahami konsep barisan aritmatika dengan lebih baik, mari kita bahas beberapa contoh soal berikut:
Contoh 1:
Suatu barisan aritmatika memiliki suku pertama a = 5 dan beda b = 3. Tentukan suku ke-10 (U10) dari barisan tersebut!
Pembahasan:
Untuk mencari suku ke-10, kita dapat menggunakan rumus umum suku ke-n barisan aritmatika:
Un = a + (n – 1)b
Dengan mengganti nilai a = 5, b = 3, dan n = 10, kita peroleh:
U10 = 5 + (10 – 1)3 = 5 + 27 = 32
Jadi, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah 32.
Contoh 2:
Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, …
Pembahasan:
Dari barisan tersebut, kita dapat menentukan suku pertama a = 2 dan beda b = 3. Untuk mencari jumlah n suku pertama (Sn) barisan aritmatika, kita gunakan rumus:
Sn = (n/2) (2a + (n – 1)b)
Dengan mengganti n = 10, a = 2, dan b = 3, kita peroleh:
S10 = (10/2) (2(2) + (10 – 1)3) = 5 (4 + 27) = 5 (31) = 155
Jadi, jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut adalah 155.
Contoh 3:
Suatu barisan aritmatika memiliki suku ketiga U3 = 11 dan suku kelima U5 = 17. Tentukan suku pertama (a) dan beda (b) dari barisan tersebut!
Pembahasan:
Kita dapat menggunakan rumus umum suku ke-n untuk menyelesaikan soal ini:
U3 = a + 2b = 11
U5 = a + 4b = 17
Kita memiliki dua persamaan dengan dua variabel, sehingga kita dapat menyelesaikannya dengan metode eliminasi atau substitusi.
Dengan eliminasi, kita kurangi persamaan kedua dengan persamaan pertama:
(a + 4b) – (a + 2b) = 17 – 11
2b = 6
b = 3
Kemudian, kita substitusikan nilai b = 3 ke salah satu persamaan awal (misalnya persamaan pertama):
a + 2(3) = 11
a + 6 = 11
a = 5
Jadi, suku pertama (a) dari barisan aritmatika tersebut adalah 5 dan beda (b) adalah 3.